Question

3．己知点H是xOy直角坐标平面上一动点，A（$\sqrt{5}$，0），B（0，2），C（0，-1）是平面上的定点．
（1）$\frac{|HB|}{|HA|}$=2时，求H的轨迹方程；
（2）当H在线段BC上移动，求$\frac{|HB|}{|HA|}$的最大值及H点坐标．

Answer 1

分析 （1）设H（x，y），利用$\frac{|HB|}{|HA|}$=2，建立方程，化简得H的轨迹方程；
（2）$\frac{|HB|}{|HA|}$=$\frac{2-y}{\sqrt{5+{y}^{2}}}$，设2-y=t，则$\frac{|HB|}{|HA|}$=$\frac{2-y}{\sqrt{5+{y}^{2}}}$=$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}-4t+9}}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{3}{t}-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{5}{9}}}$，故由二次函数的单调性求$\frac{|HB|}{|HA|}$的最大值及H点坐标．

解答 解：（1）设H（x，y），
∵$\frac{|HB|}{|HA|}$=2，
∴x²+（y-2）²=4（x-$\sqrt{5}$）²+4y²，
化简得3x²+3y²-8$\sqrt{5}$x+4y+16=0；
（2）$\frac{|HB|}{|HA|}$=$\frac{2-y}{\sqrt{5+{y}^{2}}}$，
设2-y=t，则$\frac{|HB|}{|HA|}$=$\frac{2-y}{\sqrt{5+{y}^{2}}}$=$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}-4t+9}}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{3}{t}-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{5}{9}}}$，
故由二次函数的单调性，y=-1时，最大值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，H的坐标是（0，-1）．

点评 本题考查轨迹方程，考查二次函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．