Question

16．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，-2）．
（1）求抛物线C的方程，并写出焦点坐标；
（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于$\frac{2\sqrt{5}}{5}$？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，-2）代入抛物线C：y²=2px（p＞0），解得p即可得出．
（2）直线OA的方程为：y=-2x．假设存在平行于OA的直线l满足条件，其方程为y=-2x+t，联立化为y²+2y-2t=0，由于直线l与抛物线C有公共点，可得△≥0，解得t$≥-\frac{1}{2}$．直线OA与直线l的距离：d=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，解得t，并进行验证即可．

解答 解：（1）把点A（1，-2）代入抛物线C：y²=2px（p＞0），可得（-2）²=2p×1，解得p=2．
∴抛物线C的方程为y²=4x，焦点坐标为F（1，0）．
（2）直线OA的方程为：y=-2x．
假设存在平行于OA的直线l满足条件，其方程为y=-2x+t，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为y²+2y-2t=0，
∵直线l与抛物线C有公共点，
∴△≥0，∴4+8t≥0，解得t$≥-\frac{1}{2}$．
直线OA与直线l的距离：d=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，解得t=±2．
∵-2∉$[-\frac{1}{2}，+∞）$，2∈$[-\frac{1}{2}，+∞）$．
因此符合条件的方程存在为：y=-2+2．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得△≥0、平行线之间的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．