Question

11．已知函数f（x）=x³+2x²-4x+5．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，即可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求出函数的极值点，列出f（x）在[-3，1]上的导函数符号，求出函数的极值与端点值，即可求解函数的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x³+2x²-4x+5，
∴f′（x）=3x²+4x-4（2分）
令f′（x）＞0，则x＜-2或$x＞\frac{2}{3}$，令f′（x）＜0，则-2$＜x＜\frac{2}{3}$，
所以增区间为$（{-∞，-2}），（\frac{2}{3}，+∞）$，减区间为（-2，$\frac{2}{3}$） （6分）
（Ⅱ）令f′（x）=0，得x=-2或x=$\frac{2}{3}$，

x	[-3，-2）	-2	（-2，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	$（\frac{2}{3}，1]$
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	13	减函数	$\frac{95}{27}$	增函数

∵f（-3）=（-3）³+2×（-3）²+4×3+5=8．
f（-2）=13，
f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{95}{27}$，
f（1）=1³+2×1²-4×1+5=4．
∴函数的最大值为：13，最小值为：$\frac{95}{27}$．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查分析问题解决问题的能力．