题目内容
设函数f(x)=x|x-a|+b,求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0.
证明见试题解析.
试题分析:充要条件的证明要分别证明充分性和必要性,.本题充分性是由证明为奇函数,必要性是由为奇函数证明.
试题解析:证明充分性:∵a2+b2=0,∴a=b=0, 2
∴f(x)=x|x| 3
∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|,-f(x)=-x|x|, 4
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数 6
必要性:若f(x)为奇函数,则对一切x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立 7
即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b恒成立 8
令x=0,则b=-b,∴b=0, 10
令x=a,则2a|a|=0,∴a=0 11
即a2+b2=0 12
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