Question

5．函数f（x）=x²-bx+c满足f（0）=3，且对任意实数x都有f（1-x）=f（1+x），则f（b^x）与f（c^x）的大小关系是f（b^x）≤f（c^x）．

Answer 1

分析 先根据题意求得b，c的值，先讨论b^x与c^x，的大小，再结合二次函数的单调性即可比较f（b^x）与f（c^x）的大小关系即可．

解答 解：由f（1-x）=f（1+x），得函数的对称轴是：x=1，故b=2，
且函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，在（-∞，1）上是减函数，
又f（0）=3，∴c=3，
∴b^x=2^x，c^x=3^x，
①当x＞0时，3^x＞2^x＞1⇒f（b^x）＜f（c^x）；
②当x＜0时，3^x＜2^x＜1⇒f（b^x）＜f（c^x）；
③当x=0时，3^x=2^x，⇒f（b^x）=f（c^x）；
综上：f（b^x）≤f（c^x）．
故答案为：f（b^x）≤f（c^x）．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、二次函数的性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、分类讨论思想．属于基础题．