Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，
（Ⅰ）求过点P(3，

5

-2)且与圆C相切的直线；
（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线m，使得以m被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先判断点P(3，

5

-2)在圆C上，求出切线的斜率，再用点斜式求得相切方程，再化为一般式．
（Ⅱ）设这样的直线存在，其方程为y=x+b，代入圆的方程，利用根与系数的关系求得x₁+x₂，x₁•x₂的值，进而求得y₁•y₂的值．根据OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，求得b=1，或b=-4，从而得出结论．

解答：解：（Ⅰ）因为32+(

5

-2)2-2×3+4(

5

-2)-4=0，所以，点P在圆上．   …（2分）
又因为圆心C（1，-2）所以 kCP=

5

2

，…（3分）
所以切线斜率k=-

2

5

=

-2 5

5

，…（4分）
所以方程为y-(

5

-2)=-

2 5

5

(x-3)，即2x+

5

y-11+2

5

=0．…（6分）
（Ⅱ）设这样的直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则由

x2+y2-2x+4y-4=0 y=x+b

 可得2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0（*），…（7分）
∴

x1+x2=-(b+1) x1•x2= b2+4b-4 2

．…（9分）
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x1x2+b(x1+x2)+b2．…（10分）
由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，
即b²+4b-4-b（b+1）+b²=0，b²+3b-4=0，∴b=1，或b=-4．…（12分）
容易验证b=1或b=-4时方程（*）有实根．
故存在这样的直线，有两条，其方程是y=x+1，或y=x-4．…（14分）

点评：本题主要考查求圆的切线方程，直线和圆的位置关系应用，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．