Question

【题目】四棱锥中， 面，底面是菱形，且， ，过点作直线， 为直线上一动点.

（1）求证： ；

（2）当二面角的大小为时，求的长；

（3）在（2）的条件下，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）;（3）.

【解析】试题分析：

(1)利用三垂线定理结合即可证得；

(2)首先写出二面角的平面角，最后利用余弦定理列出方程求解QB的长度即可；

(3)将问题转化为两个三棱锥的体积，其中公共的底为△POQ,高的总长度为AC的长，则体积公式为：

试题解析：

（1）由题意知直线在面上的射影为,

又菱形中，由三垂线定理知.

（2）和都是以为底的等腰三角形，设和的交点为,

连接，则是二面角的平面角，

由知，二面角大于，

所以点与点在平面的同侧，如图所示.

则是二面角的平面角，故.

在中， ，设，则中， ，

在直角梯形中， ，

在中，由余弦定理得，故且，

解得，即.

（3）由（2）知： ， ，

且面，∴.