Question

在计算“1×2+2×3+…n（n+1）”时，先改写第k项：
k（k+1）=

1

3

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2），2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3），．．
n（n+1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n(n+1)(n+2)
（1）类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的结果；
（2）试用数学归纳法证明你得到的等式．

Answer 1

分析：（1）根据已知中给出的在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时化简思路，对1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）的计算结果进行化简，处理的方法就是类比k（k+1）=

1

3

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，将n（n+1）（n+2）进行合理的分解．
（2）直接利用数学归纳法的证明步骤，先证明n=1时，结论成立，再设当n=k（k∈N^*）时，等式成立，利用假设证明n=k+1时，等式成立即可．．

解答：解：（1）∵n（n+1）（n+2）=

1

4

[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]
∴1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3）
2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4）
…
n（n+1）（n+2）=

1

4

[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

[（1×2×3×4-0×1×2×3）+（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+n×（n+1）×（n+2）×（n+3）-（n-1）×n×（n+1）×（n+2）=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）
（2）利用数学归纳法证：1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）
①当n=1时，左边=1×2×3，右边=

1

4

×1×2×3×4=1×2×3，左边=右边，等式成立．
②设当n=k（k∈N^*）时，等式成立，
即1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）=

k(k+1)(k+2)(k+3)

4

．  
则当n=k+1时，
左边=1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）
=

k(k+1)(k+2)(k+3)

4

+（k+1）（k+2）（k+3）
=（k+1）（k+2）（k+3）（

k

4

+1）
=

(k+1)(k+2)(k+3)(K+4)

4

=

(k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)

4

．
∴n=k+1时，等式成立．
由①、②可知，原等式对于任意n∈N^*成立．

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．（2）考查数学归纳法证明等式问题，证题的关键是利用归纳假设证明n=k+1时，等式成立，属于中档题．