Question

在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k（k+1）=

1

3

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]由此得
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2），
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）
…
n（n+1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
相加，得1×2×3+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）
类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”，

其结果为

 

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是类比推理，是要根据已知中给出的在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时化简思路，对1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）的计算结果进行化简，处理的方法就是类比k(k+1)=

1

3

[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)]，将n（n+1）（n+2）进行合理的分解．

解答：解：∵n（n+1）（n+2）=

1

4

[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]
∴1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3）
2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4）
…
n（n+1）（n+2）=

1

4

[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

[（1×2×3×4-0×1×2×3）+（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+n×（n+1）×（n+2）×（n+3）-（n-1）×n×（n+1）×（n+2）=

1

4

n(n+1)(n+2)(n+3)
故答案为：

1

4

n(n+1)(n+2)(n+3)

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．