题目内容

已知向量
a
=(cosx，sinx)，
b
=(
2
，
2
)，若
a
•
b
=
8
5
，且
π
4
＜x＜
π
2
．
（1）求cos(x-
π
4
)和tan(x-
π
4
)的值；
（2）求
sin2x(1+tanx)
1-tanx
的值．
分析：（1）先根据向量的数量积以及
a
•
b
=
8
5
得到sin（x+
π
4
）=
4
5
⇒cos（
π
4
-x）=
4
5
进而求出cos(x-
π
4
)，再利用同角三角函数的基本关系式即可求出tan(x-
π
4
)的值；
（2）先利用诱导公式以及两角和的正切公式对所求进行整理，再把第一问的结论代入即可求出答案．
解答：解：因为：
a
•
b
=
2
cosx+
2
sinx=2sin（x+
π
4
）
∴2sin（x+
π
4
）=
8
5
⇒sin（x+
π
4
）=
4
5
⇒cos（
π
4
-x）=
4
5
．
（1）∴cos（x-
π
4
）=
4
5
．
∵
π
4
＜x＜
π
2
⇒0＜x-
π
4
＜
π
4
⇒sin（x-
π
4
）=
1-cos 2(x-
π
4
)
=
3
5
．
∴tan（x-
π
4
）=
sin(x-
π
4
)
cos(x-
π
4
)
=
3
5
4
5
=
3
4
．
（2）∵
sin2x(1+tanx)
1-tanx

=sin2x•
1+tanx
1-tanx

=cos（
π
2
-2x）•tan（x+
π
4
）
=cos（2x-
π
2
）•cot（
π
4
-x）
=-cos2（x-
π
4
）•
1
tan(x-
π
4
)

=-[2cos2（x-
π
4
）-1]×
1
3
4

=-[2×(
4
5
)2-1]×
4
3

=-
28
75
．
点评：本题主要考查向量和三角的综合问题．解决问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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