Question

已知函数f（x）=e^x-ax（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）已知函数f（x）在x=0处取得极小值，不等式f（x）＜mx的解集为P，若M={x|

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2

≤x≤2}，且M∩P≠∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=2时，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，f′（x）=e^x-2，得f′（0）=-1，由此能求出曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程．
（Ⅱ）由函数f（x）=e^x-ax得到f′（x）=e^x-a，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）由题意知，f′（0）=0，再由M∩P≠∅，得到不等式f（x）＜mx在[

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2

 ， 2]上有解，分离参数，求得函数最值，即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，f′（x）=e^x-2，得f′（0）=-1，
所以曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1．
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a．
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；
当a＞0时，x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，
此时f（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（-∞，lna）．
（Ⅲ）由函数f（x）在x=0处取得极小值，则f′（0）=0得a=1，经检验此时f（x）在x=0处取得极小值．
因为M∩P≠∅，
所以f（x）＜mx在[

1

2

 ， 2]上有解，即?x∈[

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2

 ， 2]使f（x）＜mx成立，
即?x∈[

1

2

 ， 2]使m＞

ex-x

x

成立，
所以m＞(

ex-x

x

)min．
令g(x)=

ex

x

-1，g′(x)=

(x-1)ex

x2

，
所以g（x）在[

1

2

 ， 1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
则g（x）_min=g（1）=e-1，
所以m∈（e-1，+∞）．

点评：本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的单调性的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．