题目内容
16.已知函数f(x)=x3+ax+1的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为-3分析 (1)先求导函数,利用过函数f(x)=x3+ax+1的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为-3,根据导数的几何意义,可得f′(1)=-3,从而可求a,b的值;
(2)令g(x)=x3-6x,则问题转化为求g(x)在[-1,4]上的最大值.
解答 解:(1)函数f(x)=x3+ax+1的导数为f′(x)=3x2+a,
由图象上一点B(1,b)的切线的斜率为-3,
即有3+a=-3,1+a+1=b,
解得a=-6,b=-4;
(2)不等式f(x)<A-2008对于x∈[-1,4]恒成立,
即为x3-6x<A-2009对于x∈[-1,4]恒成立.
令g(x)=x3-6x,g′(x)=3x2-6,
令g′(x)=0,解得x=√2(-√2舍去),
g(-1)=5,g(√2)=-4√2,g(4)=40,
即有g(x)在[-1,4]上的最大值为40.
则A-2009>40,即A>2049.
故A的取值范围为(2049,+∞).
点评 本题以函数为载体,考查导数的几何意义,考查恒成立问题,解题的关键是利用导数确定函数的单调性,从而确定函数的最值.
A. | 1 | B. | -1 | C. | i | D. | -i |
A. | 2 | B. | √2 | C. | 1 | D. | √22 |