题目内容

16.已知函数f(x)=x3+ax+1的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为-3
(1)求a,b的值;
(2)求A的取值范围,使不等式f(x)<A-2008对于x∈[-1,4]恒成立.

分析 (1)先求导函数,利用过函数f(x)=x3+ax+1的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为-3,根据导数的几何意义,可得f′(1)=-3,从而可求a,b的值;
(2)令g(x)=x3-6x,则问题转化为求g(x)在[-1,4]上的最大值.

解答 解:(1)函数f(x)=x3+ax+1的导数为f′(x)=3x2+a,
由图象上一点B(1,b)的切线的斜率为-3,
即有3+a=-3,1+a+1=b,
解得a=-6,b=-4;
(2)不等式f(x)<A-2008对于x∈[-1,4]恒成立,
即为x3-6x<A-2009对于x∈[-1,4]恒成立.
令g(x)=x3-6x,g′(x)=3x2-6,
令g′(x)=0,解得x=$\sqrt{2}$(-$\sqrt{2}$舍去),
g(-1)=5,g($\sqrt{2}$)=-4$\sqrt{2}$,g(4)=40,
即有g(x)在[-1,4]上的最大值为40.
则A-2009>40,即A>2049.
故A的取值范围为(2049,+∞).

点评 本题以函数为载体,考查导数的几何意义,考查恒成立问题,解题的关键是利用导数确定函数的单调性,从而确定函数的最值.

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