题目内容
【题目】已知动圆过定点,且与直线相切,椭圆的对称轴为坐标轴,点为坐标原点,是其一个焦点,又点在椭圆上.
(1)求动圆圆心的轨迹的标准方程和椭圆的标准方程;
(2)若过的动直线交椭圆于点,交轨迹于两点,设为的面积,为的面积,令的面积,令,试求的取值范围.
【答案】(1),(2)
【解析】
试题分析:(1)动圆圆心满足抛物线的定义:,所以方程为,而椭圆标准方程的确定,利用待定系数法:(2)先表示面积:抛物线中三角形面积,利用焦点,底边OF为常数,高为横坐标之差的绝对值,再根据直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理求解;椭圆中三角形面积,利用A点为定点,底边AF为常数,高为横坐标之差的绝对值,再根据直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理求解;研究函数关系式:是一元函数,可根据直线斜率k取值范围求解
试题解析:(1)依题意,由抛物线的定义易得动点的轨迹的标准方程为:
依题意可设椭圆的标准方程为,
显然有,∴,∴椭圆的标准方程为
(2)显然直线的斜率存在,不妨设直线的直线方程为:①
联立椭圆的标准方程,有,
设则有,
再将①式联立抛物线方程,有,设得,∴,
∴,
∴当时,,又,∴
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