题目内容

(2008•成都三模)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,AA1=AB=AD,E为A1D1的中点.给出下列四个命题:①∠BCC1为异面直线AD与CC1所成的角;②三棱锥A1-ABD是正三棱锥;③CE⊥平面BB1D1D;④
CE
=-
1
2
AD
-
AB
+
AA1
.其中正确的命题有
②④
②④
.(写出所有正确命题的序号)
分析:由异面直线所成的角的定义可判断①的真假;利用正三棱锥的定义可判断②的真假;利用直线与平面垂直的定义和向量的数量积运算可判断③的真假;利用向量加法的三角形法则可判断④的真假
解答:解:①∵∠BCC1为120°,而异面直线AD与CC1所成的角为60°,故①错误
②三棱锥A1-ABD的每个面都为正三角形,故为正四面体,故②正确
④根据向量加法的三角形法则,
CE
=
CB
+
BA
+
AA1
+
A1E
=-
AD
-
AB
+
AA1
+
1
2
A D
=-
1
2
AD
-
AB
+
AA1
,故④正确
③∵
BD
=
AD
-
AB
,∴
CE
• 
BD
=(-
1
2
AD
-
AB
+
AA1
)
•(
AD
-
AB
)=-
1
2
AD
2
+
1
2
AD
AB
-
AB
AD
+
AB
2
+
AA1
AD
-
AA1
AB
=
1
2
AD
2
-
1
4
AD
2
+
1
2
AD
2
-
1
2
AD
2
=
1
4
AD
2
≠0
∴CE与BD不垂直,故③错误
故答案为 ②④
点评:本题考查了异面直线所成的角的定义,直线与平面垂直的定义,正三棱锥的定义,向量加法的三角形法则和数量积运算性质
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