Question

【题目】若定义域为R的偶函数y=f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，且当x∈[0，2]时，f（x）=2﹣x2 ， 则方程f（x）=2sinx在[﹣3π，3π]内根的个数是 ．

Answer 1

【答案】5
【解析】解：定义域为R的偶函数y=f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，即足f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=f（x），故f（x）的周期为4．
且当x∈[0，2]时，f（x）=2﹣x2 ， 则当x∈[﹣2，2]时，f（x）=2﹣x2 ．
再画出y=f（x）以及y=2sinx在[﹣3π，3π]内的图象，如图所示：
数形结合可得函数y=f（x）的图象和函数y=2sinx在[﹣3π，3π]内的图象的交点个数为5个，
则方程f（x）=2sinx在[﹣3π，3π]内根的个数是5，
故答案为：5．

先求得偶函数f（x）的周期为4，根据当x∈[0，2]时，f（x）=2﹣x2 ， 再画出y=f（x）以及y=2sinx在[﹣3π，3π]内的图象，数形结合可得结论．