题目内容
6.已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外一点O,有$\overrightarrow{OP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{OC}$.求证:P、A、B、C四点共面.分析 可假设这四点共面,则有$\overrightarrow{PA}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$,如果能求出λ,μ便说明假设正确,从而根据条件求出λ,μ,便得出P,A,B,C四点共面.
解答 证明:若P、A、B、C四点共面,∵A,B,C三点不共线;
∴存在实数λ,μ,使$\overrightarrow{PA}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$;
∴$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}=λ(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+μ(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})$;
∴$\overrightarrow{OP}=(1+λ+μ)\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OB}-μ\overrightarrow{OC}$;
根据空间向量基本定理得:$\left\{\begin{array}{l}{1+λ+μ=\frac{2}{5}}\\{-λ=\frac{1}{5}}\\{-μ=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$;
解得$λ=-\frac{1}{5},μ=-\frac{2}{5}$;
∴P,A,B,C四点共面.
点评 考查平面向量基本定理,以及空间向量基本定理,通过假设结论成立,然后找出使结论成立的条件即可.
练习册系列答案
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16.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1,x≤0}\\{{2}^{x},x>0}\end{array}\right.$,则f[f(-1)]=( )
A. | 1 | B. | 2 | C. | -1 | D. | -2 |
18.已知实数x,一满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥\frac{x}{3}-2}\\{y≤2x+4}\\{2x+3y-12≤0}\end{array}\right.$,直线(2+λ)x-(3+λ)y+(1-2λ)=0(λ∈R)过定点A(x0,y0),则$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}$的取值范围为( )
A. | [$\frac{1}{5}$,7] | B. | [$\frac{1}{7}$,5] | C. | (-∞,$\frac{1}{5}$]∪[7,+∞] | D. | (-∞,$\frac{1}{7}$]∪[5,+∞] |