Question

16．幂函数的图象经过点A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），则它在A点处的切线方程为2$\sqrt{2}$x-4y+$\sqrt{2}$=0．

Answer 1

分析 先设出幂函数的解析式，然后根据题意求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=$\frac{1}{2}$处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可．

解答 解：f（x）是幂函数，设f（x）=x^α
∵幂函数的图象经过点A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=（$\frac{1}{2}$）^α
∴α=$\frac{1}{2}$
∴f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$
f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
它在A点处的切线方程的斜率为f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又过点A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴在A点处的切线方程为2$\sqrt{2}$x-4y+$\sqrt{2}$=0
故答案为：2$\sqrt{2}$x-4y+$\sqrt{2}$=0．

点评 本小题主要考查幂函数的定义和导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．