Question

已知：S_n=（a-1）+2（a²-1）+3（a³-1）+…+n（aⁿ-1）
（1）若a=-1，则S₁₀₀的值为多少？
（2）若a∈R，求S_n．

Answer 1

分析：（1）把a=-1代入前n项和中，可以发现是以-2为首项，-4为公差的等差数列的前50项的和，然后利用公式即可求出结果．
（2）分三种情况分析，当a=0时，所求的式子为-1为首项，-1为公差的等差数列的前n项的和；当a=1时，S_n=0；当a≠0且a≠1时，利用分组和错位相减的方法求和，得出结果．

解答：解：（1）若a=-1，则S₁₀₀=-2-6-…-198=-5000    4分
（2）i．a=0时，Sn=-1-2-3-…-n=-

n(n+1)

2

6分
ii，a=1时，S_n=0   8分
iii a≠0且a≠1时S_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ-（1+2+3+…+n）
记T_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ①aT_n=a²+2a³+3a⁴+…+naⁿ⁺¹②
①-②得（1-a）T_n=a+a²+a³+…+aⁿ-naⁿ⁺¹
化简得：Tn=

a(1-an)

(1-a)2

-

nan+1

1-a

14分
所以：Sn=

a(1-an)

(1-a)2

-

nan+1

1-a

-

(1+n)n

2

16分

点评：本题考查了等差数列的求和公式以及分组和错位相减的方法求和，对于等差数列和等比数列乘积形式的数列求和，一般采取错位相减的方法，属于中档题．