Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=（a+1）n²+a，某三角形三边之比为a₂：a₃：a₄，则该三角形最大角为

 

．

Answer 1

分析：根据等差数列的性质分别求出a₁，a₂，进而表示出等差数列的公差d，由首项和公差表示出等差数列的前n项和公式，与已知的前n项和相等即可求出a的值，得到三角形三边之比，设三角形的最大角为α，然后由余弦定理即可求出cosα的值，由α的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出三角形最大角α的度数．

解答：解：令n=1，得到a₁=S₁=2a+1，令n=2，得到a₁+a₂=S₂=5a+4，
所以a₂=3a+3，故公差d=（3a+3）-（2a+1）=a+2，
所以S_n=n（2a+1）+

n(n-1)

2

（a+2）=

a+2

2

n²+（2a+1-

a+2

2

）n=（a+1）n²+a，
得到a=0，所以等差数列的首项a₁=1，公差d=2，
所以三角形三边之比为3：5：7，设最大的角为α，三边分别为3k，5k，7k，
所以cosα=

9k2+25k2-49k2

30k2

=-

1

2

，又α∈（0，180°），
则该三角形最大角α为120°．
故答案为：120°

点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．