题目内容
已知:Sn=(a-1)+2(a2-1)+3(a3-1)+…+n(an-1)(1)若a=-1,则S100的值为多少?
(2)若a∈R,求Sn.
【答案】分析:(1)把a=-1代入前n项和中,可以发现是以-2为首项,-4为公差的等差数列的前50项的和,然后利用公式即可求出结果.
(2)分三种情况分析,当a=0时,所求的式子为-1为首项,-1为公差的等差数列的前n项的和;当a=1时,Sn=0;当a≠0且a≠1时,利用分组和错位相减的方法求和,得出结果.
解答:解:(1)若a=-1,则S100=-2-6-…-198=-5000 4分
(2)i.a=0时,
6分
ii,a=1时,Sn=0 8分
iii a≠0且a≠1时Sn=a+2a2+3a3+…+nan-(1+2+3+…+n)
记Tn=a+2a2+3a3+…+nan①aTn=a2+2a3+3a4+…+nan+1②
①-②得(1-a)Tn=a+a2+a3+…+an-nan+1
化简得:
14分
所以:
16分
点评:本题考查了等差数列的求和公式以及分组和错位相减的方法求和,对于等差数列和等比数列乘积形式的数列求和,一般采取错位相减的方法,属于中档题.
(2)分三种情况分析,当a=0时,所求的式子为-1为首项,-1为公差的等差数列的前n项的和;当a=1时,Sn=0;当a≠0且a≠1时,利用分组和错位相减的方法求和,得出结果.
解答:解:(1)若a=-1,则S100=-2-6-…-198=-5000 4分
(2)i.a=0时,
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ii,a=1时,Sn=0 8分
iii a≠0且a≠1时Sn=a+2a2+3a3+…+nan-(1+2+3+…+n)
记Tn=a+2a2+3a3+…+nan①aTn=a2+2a3+3a4+…+nan+1②
①-②得(1-a)Tn=a+a2+a3+…+an-nan+1
化简得:
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所以:
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点评:本题考查了等差数列的求和公式以及分组和错位相减的方法求和,对于等差数列和等比数列乘积形式的数列求和,一般采取错位相减的方法,属于中档题.
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