题目内容
已知：Sn=（a-1）+2（a2-1）+3（a3-1）+…+n（an-1）
（1）若a=-1，则S100的值为多少？
（2）若a∈R，求Sn．
解：（1）若a=-1，则S100=-2-6-…-198=-5000 4分
（2）i．a=0时，
6分
ii，a=1时，Sn=0 8分
iii a≠0且a≠1时Sn=a+2a2+3a3+…+nan-（1+2+3+…+n）
记Tn=a+2a2+3a3+…+nan①aTn=a2+2a3+3a4+…+nan+1②
①-②得（1-a）Tn=a+a2+a3+…+an-nan+1
化简得：
14分
所以：
16分
分析：（1）把a=-1代入前n项和中，可以发现是以-2为首项，-4为公差的等差数列的前50项的和，然后利用公式即可求出结果．
（2）分三种情况分析，当a=0时，所求的式子为-1为首项，-1为公差的等差数列的前n项的和；当a=1时，Sn=0；当a≠0且a≠1时，利用分组和错位相减的方法求和，得出结果．
点评：本题考查了等差数列的求和公式以及分组和错位相减的方法求和，对于等差数列和等比数列乘积形式的数列求和，一般采取错位相减的方法，属于中档题．
（2）i．a=0时，
6分ii，a=1时，Sn=0 8分
iii a≠0且a≠1时Sn=a+2a2+3a3+…+nan-（1+2+3+…+n）
记Tn=a+2a2+3a3+…+nan①aTn=a2+2a3+3a4+…+nan+1②
①-②得（1-a）Tn=a+a2+a3+…+an-nan+1
化简得：
14分所以：
16分分析：（1）把a=-1代入前n项和中，可以发现是以-2为首项，-4为公差的等差数列的前50项的和，然后利用公式即可求出结果．
（2）分三种情况分析，当a=0时，所求的式子为-1为首项，-1为公差的等差数列的前n项的和；当a=1时，Sn=0；当a≠0且a≠1时，利用分组和错位相减的方法求和，得出结果．
点评：本题考查了等差数列的求和公式以及分组和错位相减的方法求和，对于等差数列和等比数列乘积形式的数列求和，一般采取错位相减的方法，属于中档题．
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