Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣1|．
（1）若不等式f（x+ ）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；
（2）若不等式f（x）≤2y+ +|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵不等式f（x+ ）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），

即|2（x+ ）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．

由|2x|≥2m+1，可得2x≥2m+1，或2x≤﹣2m﹣1，

求得 x≥m+ ，或x≤﹣m﹣ ，

故|2（x+ ）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣m﹣ ]∪[m+ ，+∞），

故有m+ =2，且﹣m﹣ =﹣2，

∴m=

（2）解：∵不等式f（x）≤2y+ +|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，

∴|2x﹣1|≤2y+ +|2x+3|恒成立，

即|2x﹣1|﹣|2x+3|≤2y+ 恒成立，

故g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+ ．

∵|2x﹣1|﹣|2x+3|≤|2x﹣1﹣（2x+3）|=4，

∴4≤2y+ 恒成立，

∵2y+ ≥2 ，

∴2 ≥4，

∴a≥4，

故实数a的最小值为4

【解析】（1）求得不等式f（x+ ）≥2m+1（m＞0）的解集，再结合不等式f（x+ ）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求得m的值．（2）由题意可得g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+ ，再利用绝对值三角不等式求得g（x）的最小值为4，可得4≤2y+ 恒成立，再利用基本不等式求得2y+ 的最小值为2 ，可得2 ≥4，从而求得a的范围．