Question

【题目】已知函数f（x）= ，若对于定义域内的任意x1 ， 总存在x2使得f（x2）＜f（x1），则满足条件的实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】a≥0
【解析】解：对于定义域内的任意x1 总存在x2使得f（x2）＜f（x1），即为f（x）在x≠﹣a处无最小值；
①a=0时，f（x）= 无最小值显然成立；
②a＞0时，f（x）的导数为f'（x）= ，可得f（x）在（﹣∞，﹣a）上递减，在（﹣a，3a）上递增，在（3a，+∞）递减，
即有f（x）在x=3a处取得极大值；
当x＞a时，f（x）＞0；x＜a时，f（x）＜0．取x1＜a，x2≠﹣a即可；
当x＜﹣a时，f（x）在（﹣∞，﹣a）递减，且x1＜ ＜﹣a，
f（x1）＞f（＜ ），故存在x2=x1+ |x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）；
同理当﹣a＜x1＜a时，令x2=x1﹣ |x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）也符合；
则有当a＞0时，f（x2）＜f（x1）成立；
③当a＜0时，f（x）在（﹣∞，3a）上递减，在（3a，a）上递增，在（﹣a，+∞）上递减，即有f（x）在x=3a处取得极小值，
当x＞a时，f（x）＞0； x＜a时，f（x）＜0．
f（x）min=f（3a），当x1=3a时，不存在x2 ， 使得f（x2）＜f（x1）成立．
综上可得，a的取值范围是：[0，+∞）
所以答案是：a≥0．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的性质，掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集即可以解答此题．