Question

（Ⅰ）设函数f(x)=ln(1+x)-

2x

x+2

，证明：当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：p＜(

9

10

)19＜

1

e2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．
（Ⅱ）先计算概率P=

A 100 20

10020

，再证明

A 100 20

10020

100×99×…×81

10020

(

9

10

)19

100

90

(

90

100

)20，即证明99×98×…×81＜（90）¹⁹，最后证明(

9

10

)19＜e^-2，即证(

10

9

)19＞e²，即证19ln

10

9

＞2，即证ln

10

9

2

19

，而这个结论由（1）所得结论可得

解答：（Ⅰ）证明：∵f′（x）=

1

1+x

-

2(x+2)-2x

(x+2)2

=

x2

(x+2) 2(x+1)

，
∴当x＞-1，时f′（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．
即当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=

A 20 100

10020

，要证P＜(

9

10

)19＜

1

e2

．
先证：P=

A 20 100

10020

＜(

9

10

)19，即证

100×99×…×81

10020

＜

100

90

(

90

100

)20
即证99×98×…×81＜（90）¹⁹
而99×81=（90+9）×（90-9）=90²-9²＜90²
98×82=（90+8）×（90-8）=90²-8²＜90²…
91×89=（90+1）×（90-1）=90²-1²＜90²
∴99×98×…×81＜（90）¹⁹
即P＜(

9

10

)19
再证：(

9

10

)19＜e^-2，即证(

10

9

)19＞e²，即证19ln

10

9

＞2，即证ln

10

9

＞

2

19

由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）-

2x

x+2

，当x＞0时，f（x）＞0．
令x=

1

9

，则ln（1+

1

9

）-

2• 1 9

2+ 1 9

=ln（1+

1

9

）-

2

19

＞0，即ln

10

9

＞

2

19

综上有：P＜(

9

10

)19＜

1

e2

点评：本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．