题目内容

已知二次函数f（x）=x²+x的定义域D 恰是不等式 f（-x）+f（x）≤2|x|的解集，其值域为A．函数 $数学公式$ 的定义域为[0，1]，值域为B．
（1）求f （x）的定义域D和值域 A；
（2）（理）试用函数单调性的定义解决下列问题：若存在实数x₀∈（0，1），使得函数 $数学公式$ 在[0，x₀]上单调递减，在[x₀，1]上单调递增，求实数t的取值范围并用t表示x₀．
（3）（理）是否存在实数t，使得A⊆B成立？若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（4）（文）是否存在负实数t，使得A⊆B成立？若存在，求负实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（5）（文）若函数 $数学公式$ 在定义域[0，1]上单调递减，求实数t的取值范围．

解：（1）∵f（-x）+f（x）=2x²≤2|x|的解集为为[-1，1]
函数定义域D=[-1，1]值域 A= $\text{[math]}$ …
（2）（理）在[0，x₀]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则g（x₁）＞g（x₂）
∴ $\text{[math]}$
∴3t＞x₁²+x₂²+x₁x₂≥3x₀² …
同理由在[x₀，1]上单调递增得3t≤3x₀²
所以 3t=3x₀²由x₀∈（0，1）得t∈（0，1）…
（3）（理）由（2）的单调性分析同理可得 t 的不同取值，函数g（x）的单调性
①当 t≤0时，函数 g（x）=x³-3tx+在 x∈[0，1]单调递增，∴B=[， $\text{[math]}$ ]，
∴ $\text{[math]}$ ，…
②当 0＜t＜1 时，函数 g（x）的减区间为： $\text{[math]}$ ；g（x）的增区间为：[ $\text{[math]}$ ，1]．
g（x）在 x=达到最小值． $\text{[math]}$ 此与0＜t＜1矛盾． …
③当t≥1时，函数 g（x）在区间[0，1]单调递减，∴B=[ $\text{[math]}$ ]
∴ $\text{[math]}$
综上所述：t的取值范围是： $\text{[math]}$ …
（4）（文）即（3）（理）①
当 t≤0时，函数 g（x）=x³-3tx+在 x∈[0，1]单调递增，∴B=[， $\text{[math]}$ ]，
∴ $\text{[math]}$ ，
（5）（文）类比（2）（理）得t≥1 …
分析：（1）由f（-x）+f（x）=2x²≤2|x|的解集为为[-1，1]可求函数定义域D结合二次函数的性质可求，值域A
（2）（理）在[0，x₀]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则g（x₁）＞g（x₂）可得3t＞x₁²+x₂²+x₁x₂≥3x₀² 同理由在[x₀，1]上单调递增得3t≤3x₀²则 3t=3x₀²由x₀∈（0，1）可求t的范围
（3）（理）由（2）的单调性分析同理可得 t 的不同取值，函数g（x）的单调性
①当 t≤0时，函数 g（x）=x³-3tx+在 x∈[0，1]单调递增，可求B，进而可求t的范围
②当 0＜t＜1 时，函数 g（x）的减区间为： $\text{[math]}$ ；g（x）的增区间为：[ $\text{[math]}$ ，1]．
g（x）在 x=达到最小值．③当t≥1时，函数 g（x）在区间[0，1]单调递减可求t的范围
（4）（文）即（3）（理） ①当 t≤0时，函数 g（x）=x³-3tx+在 x∈[0，1]单调递增，可求B，进而可求t的范围
（5）（文）类比（2）（理）在[0，x₀]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则g（x₁）＞g（x₂）可得3t＞x₁²+x₂²+x₁x₂≥3x₀² 同理由在[x₀，1]上单调递增得3t≤3x₀²则 3t=3x₀²由x₀∈（0，1）可求t的范围
点评：本题主要考查了绝对值不等式的解法，及二次函数闭区间上的最值的求解，函数的单调性的应用，解答本题要求考生具备较强的逻辑推理的能力及计算的能力．