Question

设函数f(x)=-

1

2

cos2x+2acosx-2a+

3

2

的最大值为g（a）．
（1）求g（a）；
（2）是否存在实数a使得g（a）=2若存在求出a及此时f（x）的最大值，
若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化简f（x）的解析式为-cos²x+2acosx-2a+2，令cosx=t，t∈[-1，1]，可得
f（t）=-t²+2at-2a+2对称轴为t=a，分a≤-1时，-1＜a＜1时，a≥1时，利用函数的单调性，分别求出g（a）．（2）令 g（a）=2，求出a值，此时，f（x）=2-cos²x，最大值为3．

解答：解：（1）f(x)=-

1

2

cos2x+2acosx-2a+

3

2

=-cos²x+2acosx-2a+2
令cosx=t，t∈[-1，1]，∴f（t）=-t²+2at-2a+2对称轴为t=a，
 当a≤-1时，函数f（t）在[-1，1]上是减函数，∴g（a）=f（-1）=-4a+1．
当-1＜a＜1时，g（a）=f（a）=a²-2a+2．
当a≥1时函数f（t）在[-1，1]上是增函数，∴g（a）=f（1）=1．
综上，g（a）=

-4a+1 a≤-1 a2-2a+2 -1＜a＜1 1 a≥1

．
（2）令-4a+1=2，解得 a=-

1

4

，不满足条件．
令a²-2a+2=2，解得 a=0，或 a=2（舍去）．
故存在 a=0，使得g（a）=2成立．
此时，f（x）=2-cos²x，最大值为3．

点评：本题考查二倍角公式，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，分诶讨论求出 g（a）是解题的难点．