Question

1．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的面积为$\frac{32π}{3}$，棱柱的面积是多少？

Answer 1

分析 由球的体积公式结合已知条件求出球的半径是2，由此得到正三棱柱底面边长为4$\sqrt{3}$，从而能求出正三棱柱的面积．

解答 解：∵一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，
这个球的面积为$\frac{32π}{3}$，
∴由球的体积公式：V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$=$\frac{32π}{3}$，
解得球的半径是：R=2，
∴正三棱柱底面边长为$\frac{2}{tan30°}$×2=4$\sqrt{3}$，
∴正三棱柱的底面积：
S_底=$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4\sqrt{3}×sin60°$=12$\sqrt{3}$，
 三棱柱的高等于球的直径：h=2R=4，
∴正三棱柱的面积：S=2S_底+3×（4$\sqrt{3}×4$）=72$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正棱柱的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意球的体积公式和正三棱柱的性质的合理运用．