题目内容
【题目】已知向量,函数
的最小值为
.
(1)当时,求
的值;
(2)求;
(3)已知函数为定义在上的增函数,且对任意的
都满足
,问:是否存在这样的实数
,使不等式
对所有
恒成立,若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】分析:(1)数的最小值为
.利用向量的乘积运算求出
的解析式,求出最小值可得
,当
时,可得
的值;
(2)根据对称轴,讨论参数的范围分段表示求;
(3)假设存在符合条件的实数,则依题意有
,对所有θ
恒成立.设
,则
,利用三角函数的有界限转化为勾勾函数的求最值问题,利用不等式的性质即可求出
的取值范围.
详解:
(1)设,则
当时,
在
为减函数,
所以时取最小值
.
(2),
,其对称轴为
,
当,即
时,
;
当,即
时,
;
综上,
(3)假设存在符合条件的实数,则依题意有
,
对所有恒成立.
设,则
,
∴,
恒成立
即,
恒成立,
∵,
∴
∴,
恒成立
令
由在
上单调递增
则
∴
所以存在符合条件的实数,并且
的取值范围为
..
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