Question

【题目】如图，在四棱锥P—ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4.

(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；

(2)求三棱锥P—ABC的体积；

(3)在棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD？若存在，

请确定点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．

【解析】分析：（1）先根据面面垂直性质定理得CD⊥平面PAD，再根据面面垂直判定定理得结果，（2）取AD的中点O，根据面面垂直性质定理得PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P—ABC的高，最后根据三棱锥体积公式得结果，(3)先探索得 E为PC的中点，取CP，CD的中点E，F，利用平几知识得四边形ABFD为平行四边形，即得BF∥AD,再根据线面平行判定定理得结论.

详解：(1)证明　因为AB∥CD，AB⊥AD，所以CD⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以CD⊥平面PAD.

因为CD平面PCD，

所以平面PCD⊥平面PAD.

(2)解　取AD的中点O，

连接PO.

因为△PAD为正三角形，

所以PO⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

所以PO为三棱锥P—ABC的高．

因为△PAD为正三角形，CD＝2AB＝2AD＝4，

所以PO＝.

所以V三棱锥P—ABC＝S△ABC·PO

＝××2×2×＝.

(3)解　在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，

BE∥平面PAD.

分别取CP，CD的中点E，F，连接BE，BF，EF，

所以EF∥PD.因为AB∥CD，CD＝2AB，

所以AB∥FD，AB＝FD，

所以四边形ABFD为平行四边形，

所以BF∥AD.

因为BF∩EF＝F，AD∩PD＝D，

所以平面BEF∥平面PAD.

因为BE平面BEF，

所以BE∥平面PAD.