Question

【题目】如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a．
（1）当∠PAQ= 时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；
（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵边长为1百米的正方形ABCD中，∠PAB=a，∠PAQ= ，

∴PB=100tanα，DQ=100tan（ ﹣α﹣ ）=100tan（ ﹣α），

∴S花卉种植面积=S△ABP+S△ADQ= = 100×100tanα+ 100tan（ ﹣α）

= = ，其中α∈[0， ]，

∴当sin（2α+ ）=1时，即θ= 时，S取得最小值为5000（2﹣ ）

（2）解：设∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，则BP=100﹣x，DQ=100﹣y，

在△ABP中，tanα= ，在△ADQ中，tanβ= ，

∴tan（α+β）= = ，

∵PB+DQ=PQ，

∴100﹣x+100﹣y= ，整理可得：x+y=100+ ，

∴tan（α+β）= = =1，

∴α+β= ，

∴∠PAQ是定值，且∠PAQ=

【解析】（1）由已知利用三角函数的定义可求PB=100tanα，DQ=100tan（ ﹣α），利用三角形面积公式及三角函数恒等变换的应用化简可求S花卉种植面积= ，其中α∈[0， ]，利用正弦函数的性质可求最小值．（2）设∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，则可求BP，DQ，利用两角和的正切函数公式可求tan（α+β）= ，由题意PB+DQ=PQ，可求：x+y=100+ ，即可得解tan（α+β）=1，可求α+β= ，即可得解．