题目内容
(2011•武昌区模拟)如图,已知点P是圆C:x2+(y-2
)2=1上的一个动点,点Q是直线l:x-y=0上的一个动点,O为坐标原点,则向量
在向量
上的投影的最大值是( )
2 |
OP |
OQ |
分析:设
,
夹角为θ,则向量
在向量
上的投影等于|
cosθ=
.分析出θ应为锐角,设P(x,y),不妨取Q(1,1),转化为求x+y的最小值问题,可以用圆的参数方程或线性规划的方法求解.
OP |
OQ |
OP |
OQ |
OP| |
| ||||
|
|
解答:解:设
,
夹角为θ,则向量
在向量
上的投影等于|
cosθ,若取得最大值则首先θ为锐角.
设P(x,y),不妨取Q(1,1),则根据向量数量积的运算得出|
cosθ=
=
①
由于P是圆C:x2+(y-2
)2=1上的一个动点,设
②
将②代入①得出|
cosθ=
(cosα+sinα+2
),而cosα+sinα的最大值为
,
所以|
cosθ≥
×3
=3
故选A.
OP |
OQ |
OP |
OQ |
OP| |
设P(x,y),不妨取Q(1,1),则根据向量数量积的运算得出|
OP| |
| ||||
|
|
x+y | ||
|
由于P是圆C:x2+(y-2
2 |
|
将②代入①得出|
OP| |
| ||
2 |
2 |
2 |
所以|
OP| |
| ||
2 |
2 |
故选A.
点评:本题考查向量投影的计算,最值问题求解,考查转化、计算能力.
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