题目内容

(2011•武昌区模拟)如图,已知点P是圆C:x2+(y-2
2
)
2
=1
上的一个动点,点Q是直线l:x-y=0上的一个动点,O为坐标原点,则向量
OP
在向量
OQ
上的投影的最大值是(  )
分析:
OP
OQ
夹角为θ,则向量
OP
在向量
OQ
上的投影等于|
OP|
cosθ=
OP
OQ
|
OQ
|
.分析出θ应为锐角,设P(x,y),不妨取Q(1,1),转化为求x+y的最小值问题,可以用圆的参数方程或线性规划的方法求解.
解答:解:设
OP
OQ
夹角为θ,则向量
OP
在向量
OQ
上的投影等于|
OP|
cosθ,若取得最大值则首先θ为锐角.
设P(x,y),不妨取Q(1,1),则根据向量数量积的运算得出|
OP|
cosθ=
OP
OQ
|
OQ
|
=
x+y
2

由于P是圆C:x2+(y-2
2
)
2
=1
上的一个动点,设
x=cosα
y=2
2
+sinα

将②代入①得出|
OP|
cosθ=
2
2
(cosα+sinα+2
2
),而cosα+sinα的最大值为
2

所以|
OP|
cosθ≥
2
2
×3
2
=3
故选A.
点评:本题考查向量投影的计算,最值问题求解,考查转化、计算能力.
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