Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为10．
（1）求棱A₁A的长；
（2）求此几何体的表面积，并画出此几何体的主视图和俯视图（写出各顶点字母）．

Answer 1

分析：（1）设长方体的高AA₁=h，根据长方体体积公式和锥体体积公式列方程，解之即可得到AA₁=3．
（2）根据题意，可得该几何体的表面由三个长方形和四个三角形组成，分别求出各长方形和三角形的面积，相加即得此几何体的表面积，再根据三视图的定义可作出它的主视图和俯视图．

解答：解：（1）设长方体的高AA₁=h，则该几何体体积为
VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=10--------------------2'
即2×2•h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=

10

3

h=10，解得：h=3，即AA₁=3-----------------------6’
（2）根据题意，可得该几何体的表面由三个长方形和四个三角形组成，
S_AA1D1D=S_C1D1DC=2×3=6，S_ABCD=2×2=4，
S_△A1AB=S_△BC1C=

1

2

×2×3=3，S_△A1D1C1=

1

2

×2×2=2，
在△A₁BC₁中，A₁B=

22+32

=

13

=BC₁，A₁C₁=

22+22

=2

2

∴cos∠A₁BC₁=

13+13-8

2× 13 × 13

=

9

13

，
可得sin∠A₁BC₁=

1-( 9 13 )2

=

2 22

13

所以S_△A1BC1=

1

2

×

13

×

13

×

2 22

13

=

22

由此可得该几何体的表面积为：
S_表=S_AA1D1D+S_C1D1DC+S_ABCD+S_△A1AB+S_△BC1C+S_△A1D1C1+S_△A1BC1=24+

22

---------------------------10'
几何体的主视图和俯视图如右图所示（主视图和俯视图分别为2分）．---------------------------14'

点评：本题将长方体切去一个角，在已知体积的情况下求它的高，并求几何体的表面积，着重考查了棱柱棱锥的体积公式，用正余弦定理求三角形面积等知识，属于基础题．