题目内容
如图,已知三棱锥中,
,
,
为
中点,
为
中点,且
为正三角形。
(Ⅰ)求证://平面
;
(Ⅱ)求证:平面⊥平面
;
(III)若,
,求三棱锥
的体积.
【答案】
(Ⅰ)由M为AB中点,D为PB中点,得到MD//AP,推出DM//平面APC.
(Ⅱ)由△PMB为正三角形,且D为PB中点.得到MD⊥PB.
又由(1)知MD//AP,推出AP⊥PB.
推出AP⊥平面PBC,得到AP⊥BC,推出平面ABC⊥平面PAC;
(Ⅲ)VD-BCM = VM-BCD =。
【解析】
试题分析:(Ⅰ)∵M为AB中点,D为PB中点,
∴MD//AP, 又∴MD平面ABC
∴DM//平面APC. 3分
(Ⅱ)∵△PMB为正三角形,且D为PB中点.∴MD⊥PB.
又由(1)∴知MD//AP, ∴AP⊥PB.
又已知AP⊥PC ∴AP⊥平面PBC,
∴AP⊥BC, 又∵AC⊥BC. 7分
∴BC⊥平面APC, ∴平面ABC⊥平面PAC,
(Ⅲ)∵ AB=20
∴ MB=10 ∴PB=10
又 BC=4,
∴
又MD
∴VD-BCM = VM-BCD = 12分
考点:本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系,体积的计算。
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用向量则能简化证明过程。本题计算体积时运用了“等体积法”,简化了解答过程。

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