题目内容

如图,已知三棱锥中,中点, 中点,且为正三角形。

(Ⅰ)求证://平面

(Ⅱ)求证:平面⊥平面

(III)若,求三棱锥的体积.

 

【答案】

(Ⅰ)由M为AB中点,D为PB中点,得到MD//AP,推出DM//平面APC.

(Ⅱ)由△PMB为正三角形,且D为PB中点.得到MD⊥PB.

又由(1)知MD//AP,推出AP⊥PB.

推出AP⊥平面PBC,得到AP⊥BC,推出平面ABC⊥平面PAC;

(Ⅲ)VD-BCM = VM-BCD =

【解析】

试题分析:(Ⅰ)∵M为AB中点,D为PB中点,

∴MD//AP,  又∴MD平面ABC

∴DM//平面APC.                              3分

(Ⅱ)∵△PMB为正三角形,且D为PB中点.∴MD⊥PB.

又由(1)∴知MD//AP, ∴AP⊥PB.

又已知AP⊥PC  ∴AP⊥平面PBC,

∴AP⊥BC,  又∵AC⊥BC.                       7分

∴BC⊥平面APC,  ∴平面ABC⊥平面PAC,

(Ⅲ)∵ AB=20

∴ MB=10   ∴PB=10

又 BC=4,

又MD

∴VD-BCM = VM-BCD =       12分

考点:本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系,体积的计算。

点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用向量则能简化证明过程。本题计算体积时运用了“等体积法”,简化了解答过程。

 

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