题目内容
【题目】某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为
，且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖.
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及均值和方差.
【答案】（1）
；（2）
的分布列为
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的数学期望为
．
【解析】
试题（1）设“某节目的投票结果是最终一等奖”为事件
，则事件包含该节目可以获
张“获奖票”或该节目可以获
张“获奖票”，由此能求出某节目的投票结果是最终一等奖的概率；（2）所含“获奖”和“待定”票数之和的值为
，
，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望．
试题解析：（1）设某节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为，则事件包括：该节目可以获张“获奖”票，或者获张“获奖”票，∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为
，且三人投票相互没有影响，
∴
； 6分（2）所含“获奖”和“待定”票数之和的值为
，，，，
，
，
，
， 8分
因此的分布列为
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∴的数学期望为
， 12分
（亦可服从二项分布
同样给分）（12分）
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