Question

15．设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若h（x）=ln[f（x）+a]的定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式的解集．
（2）由题意可得f（x）_min＞a，而由绝对值的意义求得f（x）_min=2，可得2＞-a，由此求得a的范围．

解答 （1）不等式f（x）=|2x-1|+|2x-3|≤5，即|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|≤$\frac{5}{2}$．
|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|表示数轴上的x对应点到$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{2}$对应点的距离之和，
而$\frac{9}{4}$ 和-$\frac{1}{4}$对应点到$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{2}$对应点的距离之和正好等于$\frac{5}{2}$，
故不等式的解集为x∈[-$\frac{1}{4}$，$\frac{9}{4}$]．
（2）∵h（x）=ln[f（x）+a]的定义域为R，∴f（x）＞-a恒成立，
故f（x）_min＞-a．而由绝对值的意义求得f（x）_min=2，∴2＞-a，
求得a＞-2，即a的取值范围为（-2，∞）．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．