题目内容

（2012•湖北）已知向量
a
=（1，0），
b
=（1，1），则
（Ⅰ）与2
a
+
b
同向的单位向量的坐标表示为
（
3
10
10
，
10
10
）
（
3
10
10
，
10
10
）
；
（Ⅱ）向量
b
-3
a
与向量
a
夹角的余弦值为
-
2
5
5
-
2
5
5
．
分析：（I）由已知可求2
a
+
b
，进而可求|2
a
+
b
|，而与2
a
+
b
同向的单位向量
2
a
+
b
10
，再利用坐标表示即可
（II）设
b
-3
a
与向量
a
夹角θ，由已知可求(
b
-3
a
)•
a
，|
b
-3
a
，，|
a
|，代入向量的夹角公式cosθ=
(
b
-3
a
)•
a
|
b
-3
a
||
a
|
可求
解答：解：（I）∵
a
=（1，0），
b
=（1，1）
∴2
a
+
b
=（2，0）+（1，1）=（3，1），|2
a
+
b
|=
10

∴与2
a
+
b
同向的单位向量的坐标表示
2
a
+
b
10
=(
3
10
10
，
10
10
)
（II）设
b
-3
a
与向量
a
夹角θ
∵
a
=（1，0），
b
=（1，1），
∴
b
-3
a
=(1，1)-(3，0)=(-2，1)，
∴(
b
-3
a
)•
a
=-2，|
b
-3
a
|=
(-2)2+12
=
5
，|
a
|=1
则cosθ=
(
b
-3
a
)•
a
|
b
-3
a
||
a
|
=
-2
5
=-
2
5
5

故答案为：(
3
10
10
，
10
10
)；-
2
5
5
点评：本题主要考查了向量运算的坐标表示，向量的数量积的坐标表示、夹角公式的应用，注意结论：与向量
a
共线且同向的单位向量
a
|
a
|
的应用
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12π
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．

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