Question

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若

AC

•

BC

=-1，则sin(α+

π

4

)的值为（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  2

  3

• C、

  2

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：由A，B，C的坐标求出

AC

和

BC

，根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简

AC

•

BC

=-1得到sinα+cosα的和，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin（α+

π

4

）的值．

解答：解：∵

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3）
∴

AC

•

BC

=（cosα-3）•cosα+sinα（sinα-3）=-1
得cos²α+sin²α-3（cosα+sinα）=-1
∴sinα+cosα=

2

3

，
故sin（α+

π

4

）=

2

2

（sinα+cosα）=

2

2

×

2

3

=

2

3

故选B

点评：此题考查学生掌握平面向量的数量积的运算，灵活运用两角和的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．