题目内容
已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为
，焦点坐标分别为F1（-2，0），F2（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知A（-3，0），B（3，0），P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，求
•
的值．
| 3 | ||
|
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知A（-3，0），B（3，0），P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，求
| OM |
| ON |
分析：（Ⅰ） 设椭圆C的标准方程为
+
=1，利用椭圆C的长轴长与短轴长之比为
，焦点坐标分别为F1（-2，0），F2（2，0），确定几何量之间的关系，从而可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设P（x0，y0），可得直线方程，令x=0，从而可求M，N的坐标，根据P点在椭圆上，即可求得
•
的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 | ||
|
（Ⅱ）设P（x0，y0），可得直线方程，令x=0，从而可求M，N的坐标，根据P点在椭圆上，即可求得
| OM |
| ON |
解答：解：（Ⅰ） 设椭圆C的标准方程为
+
=1．
∵
=
，c=2，a2=b2+c2
∴a2=9，b2=5…（4分）
所以椭圆C的标准方程为
+
=1．…（5分）
（Ⅱ）设P（x0，y0），直线PA：y=
(x+3)，PB：y=
(x-3)…（7分）
令x=0，得：M(0，
)，N(0，
)…（9分）
∵P点在椭圆上，∴
+
=1
所以：
•
=
=
=5，…（12分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵
| a |
| b |
| 3 | ||
|
∴a2=9，b2=5…（4分）
所以椭圆C的标准方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
（Ⅱ）设P（x0，y0），直线PA：y=
| y0 |
| x0+3 |
| y0 |
| x0-3 |
令x=0，得：M(0，
| 3y0 |
| x0+3 |
| -3y0 |
| x0+3 |
∵P点在椭圆上，∴
| x02 |
| 9 |
| y02 |
| 5 |
所以：
| OM |
| ON |
| -9y02 |
| x02-9 |
| 5(x02-9) |
| x02-9 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，求椭圆的标准方程，利用待定系数法是我们常用的方法．
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