题目内容
已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若|
+
|=
，且α∈（0，π），求
与
夹角的大小；
（2）若(
+2
)⊥
，求cos2α．
（1）若|
| OA |
| OC |
| 13 |
| OB |
| OC |
（2）若(
| OA |
| OB |
| OC |
分析：（1）由题意可得
，
，
的坐标，进而可得
+
的坐标，由已知和向量的模长公式可解得cosα，可得
•
的值，代入夹角公式可得夹角的余弦值，可得夹角；
（2）由（1）可得
+2
，由向量垂直可得(
+2
)•
=0，代入数据计算可得tanα的值，由三角函数的知识可得cos2α=
，代入运算可得．
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OC |
| OB |
| OC |
（2）由（1）可得
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OC |
| 1-tan2α |
| 1+tan2α |
解答：解：（1）由题意可得
=（3，0），
=（0，3），
=（cosα，sinα），
∴
+
=（3+cosα，sinα），
∴|
+
|=
=
=
，
解得cosα=
，又∵α∈（0，π），∴α=
，
∴
=（
，
），
•
=
，
∴cos＜
，
＞=
=
，
又＜
，
＞∈[0，π]，
∴
与
夹角为
；
（2）由（1）可得
+2
=（3，6），
由(
+2
)⊥
可得(
+2
)•
=0，
代入数据可得3cosα+6sinα=0，解得tanα=-
∴cos2α=cos2α-sin2α=
=
=
=
| OA |
| OB |
| OC |
∴
| OA |
| OC |
∴|
| OA |
| OC |
| (3+cosα)2+sin2α |
| 10+6cosα |
| 13 |
解得cosα=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴
| OC |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| OB |
| OC |
3
| ||
| 2 |
∴cos＜
| OB |
| OC |
| ||||
|
|
| ||
| 2 |
又＜
| OB |
| OC |
∴
| OB |
| OC |
| π |
| 6 |
（2）由（1）可得
| OA |
| OB |
由(
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
代入数据可得3cosα+6sinα=0，解得tanα=-
| 1 |
| 2 |
∴cos2α=cos2α-sin2α=
| cos2α-sin2α |
| cos2α+sin2α |
=
| 1-tan2α |
| 1+tan2α |
1-(-
| ||
1+(-
|
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查数量积与向量夹角的关系，涉及三角函数的运算，属中档题．
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