Question

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O为原点．
（1）若

AC

⊥

BC

，求sin2α的值；
（2）若丨

OC

+

OA

丨=

13

，α∈（0，π），求

OB

与

OC

的夹角．

Answer 1

分析：（1）利用向量垂直，得到三角关系．（2）利用丨

OC

+

OA

丨=

13

，得到

OB

与

OC

的夹角．

解答：解：（1）因为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
所以

AC

=(cosα-3，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-3)，
因

AC

⊥

BC

，所以（cosα-3，sinα）?（cosα，sinα-3）=0  （2分）
则sinα+cosα=

1

3

…（4分）
则平方得2sinαcosα=sin2α=-

8

9

  …（6分）
（2）由丨

OC

+

OA

丨=

13

，α∈（0，π），平方得cosα=

1

2

，所以sinα=

3

2

．
即C（

1

2

，

3

2

），
设

OB

与

OC

的夹角为θ，
则cosθ=

OB ? OC

| OB |?| OC |

=

3× 3 2

3×1

=

3

2

．
所以θ=

π

6

．
即

OB

与

OC

的夹角为

π

6

．

点评：本题主要考查向量数量积的基本应用，要求熟练掌握．