Question

6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b²=a²+bc，A=$\frac{π}{6}$，D点在边AC上，当线段BD的长最小，则$\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{6}$，而b²=a²+bc，可得c=（$\sqrt{3}$-1）b，a²=（2-$\sqrt{3}$）b²，利用余弦定理得出C，线段BD的长最小，BD⊥AC，则AB=2BD，CD=BD，即可得出结论．

解答 解：由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{6}$=b²+c²-$\sqrt{3}$bc，
∵b²=a²+bc，
∴bc+c²-$\sqrt{3}$bc=0，
解得c=（$\sqrt{3}$-1）b，
a²=b²-bc=（2-$\sqrt{3}$）b²，
∴解得：cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵c＜b，
∴C为锐角，C=$\frac{π}{4}$．
当线段BD的长最小，BD⊥AC，则AB=2BD，CD=BD，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．