题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点.
(1)求证:PA∥平面EDB;
(2)求锐二面角C﹣PB﹣D的大小.
【答案】
(1)解法一:如图,以D为坐标原点,分别以 所在的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D﹣xyz.
则A(2,0,0),P(0,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,1,1).
法一: .
设 ,即(2,0,﹣2)=λ(2,2,0)+μ(0,1,1).
解得λ=1,μ=﹣2.
所以 .
又PA平面EDB,所以PA∥平面EDB.
法二:取BD的中点G,则G(1,1,0). ,
.
所以 ,所以PA∥EG.
又PA平面EDB,EG平面EDB,
所以PA∥平面EDB.
法三: .
设 =(x,y,z)为平面EDB的一个法向量,
则 ,即2x+2y=0,y+z=0.
取y=﹣1,则x=z=1.于是 =(1,﹣1,1).
又 ,所以
.所以
.
又PA平面EDB,所以PA∥平面EDB.
解法二:连接AC,设AC∩BD=G.
因为ABCD是正方形,所以G是线段AC的中点.
又E是线段PC的中点,所以,EG是△PAC的中位线.
所以PA∥EG.
又PA平面EDB,EG平面EDB,
所以PA∥平面EDB.
(2)解法一:由(1)中的解法一, ,
.
设 =(x1,y1,z1)为平面CPB的一个法向量,
则 ,
.
取y1=1,则z1=1.于是 =(0,1,1).
因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AC.
又PD∩BD=D,所以AC⊥平面PDB.
所以 是平面PDB的一个法向量.
所以
所以,锐二面角C﹣PB﹣D的大小为60°.
解法二:如图,设AC∩BD=G.
在Rt△PDB中,过G作GF⊥PB于F,连接FC.
因为四边形ABCD是正方形,
所以CA⊥BD,即CG⊥BD.
因为侧棱PD⊥底面ABCD,CG平面ABCD,
所以CG⊥PD.
又CG⊥BD,PD∩BD=D,所以CG⊥平面PDB.
所以CG⊥PB.
又PB⊥GF,CG∩GF=G,所以PB⊥平面CGF.
所以PB⊥FC.从而∠GFC就是二面角C﹣PB﹣D的一个平面角
在Rt△PDB中, .
在Rt△FGC中, .所以∠GFC=60°.
所以二面角C﹣PB﹣D的大小为60°
【解析】(1)解法一:以D为坐标原点,分别以 所在的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D﹣xyz.求出相关点的坐标.法一,推出
.然后证明PA∥平面EDB.法二:取BD的中点G,则G(1,1,0),利用
,说明PA∥EG.证明PA∥平面EDB.法三:求出平面EDB的一个法向量
,证明
,推出PA∥平面EDB.解法二:连接AC,设AC∩BD=G.证明PA∥EG.然后证明PA∥平面EDB.(2)解法一:由(1)中的解法一,求出平面CPB的一个法向量
,证明AC⊥BD.PD⊥AC.推出AC⊥平面PDB.求出平面PDB的一个法向量,利用空间向量的数量积求解锐二面角C﹣PB﹣D的大小.解法二:过G作GF⊥PB于F,连接FC.说明∠GFC就是二面角C﹣PB﹣D的一个平面角通过求解三角形即可.

【题目】某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量值落在的产品为合格品,否则为不合格品.如表是甲流水线样本频数分布表,如图是乙流水线样本的频率分布直方图.
产品质量/克 | 频数 |
(490,495] | 6 |
(495,500] | 8 |
(500,505] | 14 |
(505,510] | 8 |
(510,515] | 4 |
甲流水线样本频数分布表:
甲流水线 | 乙流水线 | 总计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
总计 |
(1)根据上表数据作出甲流水线样本的频率分布直方图;
(2)若以频率作为概率,试估计从乙流水线任取件产品,该产品恰好是合格品的概率;
(3)由以上统计数据完成下面列联表,能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关?
附表:
(参考公式: )