题目内容

【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点.

(1)求证:PA∥平面EDB;
(2)求锐二面角C﹣PB﹣D的大小.

【答案】
(1)解法一:如图,以D为坐标原点,分别以 所在的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D﹣xyz.

则A(2,0,0),P(0,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,1,1).

法一:

,即(2,0,﹣2)=λ(2,2,0)+μ(0,1,1).

解得λ=1,μ=﹣2.

所以

又PA平面EDB,所以PA∥平面EDB.

法二:取BD的中点G,则G(1,1,0).

所以 ,所以PA∥EG.

又PA平面EDB,EG平面EDB,

所以PA∥平面EDB.

法三:

=(x,y,z)为平面EDB的一个法向量,

,即2x+2y=0,y+z=0.

取y=﹣1,则x=z=1.于是 =(1,﹣1,1).

,所以 .所以

又PA平面EDB,所以PA∥平面EDB.

解法二:连接AC,设AC∩BD=G.

因为ABCD是正方形,所以G是线段AC的中点.

又E是线段PC的中点,所以,EG是△PAC的中位线.

所以PA∥EG.

又PA平面EDB,EG平面EDB,

所以PA∥平面EDB.


(2)解法一:由(1)中的解法一,

=(x1,y1,z1)为平面CPB的一个法向量,

取y1=1,则z1=1.于是 =(0,1,1).

因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD.

因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AC.

又PD∩BD=D,所以AC⊥平面PDB.

所以 是平面PDB的一个法向量.

所以

所以,锐二面角C﹣PB﹣D的大小为60°.

解法二:如图,设AC∩BD=G.

在Rt△PDB中,过G作GF⊥PB于F,连接FC.

因为四边形ABCD是正方形,

所以CA⊥BD,即CG⊥BD.

因为侧棱PD⊥底面ABCD,CG平面ABCD,

所以CG⊥PD.

又CG⊥BD,PD∩BD=D,所以CG⊥平面PDB.

所以CG⊥PB.

又PB⊥GF,CG∩GF=G,所以PB⊥平面CGF.

所以PB⊥FC.从而∠GFC就是二面角C﹣PB﹣D的一个平面角

在Rt△PDB中,

在Rt△FGC中, .所以∠GFC=60°.

所以二面角C﹣PB﹣D的大小为60°


【解析】(1)解法一:以D为坐标原点,分别以 所在的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D﹣xyz.求出相关点的坐标.法一,推出 .然后证明PA∥平面EDB.法二:取BD的中点G,则G(1,1,0),利用 ,说明PA∥EG.证明PA∥平面EDB.法三:求出平面EDB的一个法向量 ,证明 ,推出PA∥平面EDB.解法二:连接AC,设AC∩BD=G.证明PA∥EG.然后证明PA∥平面EDB.(2)解法一:由(1)中的解法一,求出平面CPB的一个法向量 ,证明AC⊥BD.PD⊥AC.推出AC⊥平面PDB.求出平面PDB的一个法向量,利用空间向量的数量积求解锐二面角C﹣PB﹣D的大小.解法二:过G作GF⊥PB于F,连接FC.说明∠GFC就是二面角C﹣PB﹣D的一个平面角通过求解三角形即可.

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