Question

（本小题满分12分）
从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)、第二组[160,165)、…、第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．

(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180 cm以上(含180 cm)的人数；
(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x－y|≤5的事件概率．

Answer 1

（1）144人
（2）略
（3）

解：(1)由频率分布直方图知，
前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，
后三组频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9人，
这所学校高三男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144人．…4分
(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人，
设第六组人数为m，则第七组人数为9－2－m＝7－m，又m＋2＝2(7－m)，所以m＝4，
即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08,0.06.
频率除以组距分别等于0.016,0.012，见图．
 ………………8分
(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为4人，设为a，b，c，d.身高在[190,195]的人数为2人，设为A，B.
若x，y∈[180,185)时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．
若x，y∈[190,195]时，有AB共一种情况．
若x，y分别在[180,185)，[190,195]内时，有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB共8种情况．
所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15种．
事件|x－y|≤5所包含的基本事件个数有6＋1＝7种，故P(|x－y|≤5)＝……12分