Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2mx+10（m＞1）．
（1）若f（m）=1，求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对于任意的x1 ， x2∈[1，m+1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤9恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若f（x）在区间[3，5]上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意m2﹣2m2+10=1，解得m=3或m=﹣3（舍去），

∴f（x）=x2﹣6x+10

（2）解：由f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，得m≥2，

∴当x∈[1，m+1]时， ．

∵对于任意的x1，x2∈[1，m+1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤9恒成立，

∴f（x）max﹣f（x）min≤9，即m2﹣2m﹣8≤0，

解得﹣2≤m≤4．

∴实数m的取值范围是[2，4]

（3）解：∵f（x）在区间[3，5]上有零点，

∴关于x的方程x2﹣2mx+10=0在[3，5]上有解．

由x2﹣2mx+10=0，得 ，

令 ，

∵g（x）在 上是减函数，在 上是增函数，

∴ ，即

∴求实数m的取值范围是

【解析】(1)根据f（m）=1可得，m2﹣2m2+10=1，解得m=3或m=﹣3（舍去）故得解析式。（2）由已知根据增减性的定义可得到﹣2≤m≤4．
（3）根据零点定理可得实数m的取值范围。