Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．

（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的增区间；
（2）写出函数f（x）的解析式和值域；
（3）若方程f（x）﹣m=0有四个解，求m的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数图象如右图所示：

f（x）的递增区间是（﹣1，0），（1，+∞）

（2）解：根据图象可知解析式为： ，值域为：{y|y≥﹣1}
（3）解：根据图象可知﹣1＜m＜0时y=f（x）与y=m有四个个交点

∴方程f（x）﹣m=0有四个解，m的范围是：﹣1＜m＜0

【解析】(1)根据偶函数的图像关于原点对称的特点可以补充完整图像，结合图像可以写出函数的递增区间；（2）x≤0时，函数的解析式已知，根据偶函数的对称性可知x>0时函数图像是过点（0，0）（2，0）（1，-1）的抛物线的一部分，故可得函数的解析式.结合图像可以得到函数的值域；（3）将原题理解为f(x)=m有四个解，画出图像，数形结合可知m的取值范围.
【考点精析】通过灵活运用函数的值域和函数图象的作法，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象即可以解答此题．