题目内容
【题目】△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点,若 ,则sin∠BAC= .
【答案】
【解析】解:如图
设AC=b,AB=c,CM=MB= ,∠MAC=β,
在△ABM中,由正弦定理可得 =
,
代入数据可得 =
,解得sin∠AMB=
,
故cosβ=cos( ﹣∠AMC)=sin∠AMC=sin(π﹣∠AMB)=sin∠AMB=
,
而在RT△ACM中,cosβ= =
,
故可得 =
,化简可得a4﹣4a2b2+4b4=(a2﹣2b2)2=0,
解之可得a= b,再由勾股定理可得a2+b2=c2 , 联立可得c=
,
故在RT△ABC中,sin∠BAC= =
=
=
,
故答案为:
作出图象,设出未知量,在△ABM中,由正弦定理可得sin∠AMB= ,进而可得cosβ=
,在RT△ACM中,还可得cosβ=
,建立等式后可得a=
b,再由勾股定理可得c=
,而sin∠BAC═
=
,代入化简可得答案.
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