题目内容

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量 $数学公式$ =（2cos2A+3，2）， $数学公式$ =（2cosA，1），且 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ．
（1）求角A的大小；
（2）若 $数学公式$ ，sin（B-C）=cosA，求边长b和c．

解：（1）∵向量 $\text{[math]}$ =（2cos2A+3，2） $\text{[math]}$ =（2cosA，1），且 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，∴（2cos2A+3）×1-（2cosA）×2=0，解得 cosA= $\text{[math]}$ ，
在△ABC中，可得A= $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ bc•sinA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴bc= $\text{[math]}$ ①．
∵sin（B-C）=cosA= $\text{[math]}$ ，
∴B-C= $\text{[math]}$ 或 B-C= $\text{[math]}$ （舍去）．
再由 B+C= $\text{[math]}$ ，可得 B= $\text{[math]}$ ，C= $\text{[math]}$ ．
再由正弦定理可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ②．
由①②解得 b= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用两个向量共线的性质可得（2cos2A+3）×1-（2cosA）×2=0，解得 cosA= $\text{[math]}$ ，从而求得角A的大小．
（2）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可得 bc= $\text{[math]}$ ①，再由sin（B-C）=cosA= $\text{[math]}$ ，可得B-C的值，根据B+C= $\text{[math]}$ ，求出B、C的值．利用正弦定理求出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ②，结合①②解得边长b和c．
点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量的数量积的定义，正弦定理的应用，属于中档题．