题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,以轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;

2)若曲线和曲线交于两点,且,求实数的值.

【答案】12

【解析】

1)根据参数方程消去参数直接写出的普通方程,利用的极坐标方程化为直角坐标方程;

2)方法①:将的参数方程代入到的直角坐标方程,根据的几何意义结合条件等式求解出的值;

方法②:将的普通方程代入的直角坐标方程,根据韦达定理结合条件等式计算出的值即可.

1)因为参数方程为,所以普通方程为:

因为的极坐标方程为,所以的直角坐标方程为

(2)方法①:将曲线的参数方程化为(为参数,),

代入曲线得方程

设点对应的参数分别为,则把上式代入

化简得,解得

,故为所求;

方法②:将曲线代入曲线得方程

设方程的两个根分别为,不妨设,则

由题意得,即

代入

所以

化简得,解得,此为所求.

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