题目内容
(本小题满分14分)
已知
函数,其中
,其中
。
(I)求函数
的零点;
(II)讨论
在区间
上的单调性;
(III)在区间
上,
是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由。
已知



(I)求函数

(II)讨论


(III)在区间


(I)-a.
(II)在区间
上
是增函数,
在区间
是减函数。
(III)
(II)在区间


在区间

(III)

(I)解
,得
所以函数
的零点为-a.………………2分
(II)函数
在区域(-∞,0)上有意义,
,…………5分
令
因为
…………7分
当x在定义域上变化时,
的变化情况如下:
所以在区间
上
是增函数, …………8分
在区间
是减函数。 …………9分
(III)在区间
上
存在最小值
…………10分
证明:由(I)知-a是函数
的零点,
因为
所以
。 …………11分
由
知,当
时,
。 …………12分
又函数在
上是减函数,
且
。
所以函数在区间
上的最小值为
且
。 …………13分
所以函数在区间
上的最小值为
,
计算得
。 …………14分



(II)函数


令

因为

当x在定义域上变化时,

![]() | (![]() | ![]() |
![]() | + | - |
![]() | ![]() | ![]() |


在区间

(III)在区间



证明:由(I)知-a是函数

因为

所以

由



又函数在

且

所以函数在区间


且

所以函数在区间


计算得


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