题目内容
(本小题满分14分)
已知函数,其中,其中。
(I)求函数的零点;
(II)讨论在区间上的单调性;
(III)在区间上,是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由。
已知函数,其中,其中。
(I)求函数的零点;
(II)讨论在区间上的单调性;
(III)在区间上,是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由。
(I)-a.
(II)在区间上是增函数,
在区间是减函数。
(III)
(II)在区间上是增函数,
在区间是减函数。
(III)
(I)解,得所以函数的零点为-a.………………2分
(II)函数在区域(-∞,0)上有意义,,…………5分
令
因为 …………7分
当x在定义域上变化时,的变化情况如下:
所以在区间上是增函数, …………8分
在区间是减函数。 …………9分
(III)在区间上存在最小值 …………10分
证明:由(I)知-a是函数的零点,
因为
所以。 …………11分
由知,当时,。 …………12分
又函数在上是减函数,
且。
所以函数在区间上的最小值为
且。 …………13分
所以函数在区间上的最小值为,
计算得。 …………14分
(II)函数在区域(-∞,0)上有意义,,…………5分
令
因为 …………7分
当x在定义域上变化时,的变化情况如下:
() | ||
+ | - | |
在区间是减函数。 …………9分
(III)在区间上存在最小值 …………10分
证明:由(I)知-a是函数的零点,
因为
所以。 …………11分
由知,当时,。 …………12分
又函数在上是减函数,
且。
所以函数在区间上的最小值为
且。 …………13分
所以函数在区间上的最小值为,
计算得。 …………14分
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