题目内容

在数列{an}中，已知a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N•．
（1）设bn=an-n，求证：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
分析：（1）确定数列{bn}是等比数列，则要证明
bn+1
bn
是个不为0的定值，结合题干条件即可证，
（2）首先根据（1）求出数列{bn}的通项公式，然后根据题干条件求得an=bn+n=4n-1+n，结合等差数列和等比数列的求和公式即可解答．
解答：解：（1）∵
bn+1
bn
=
an+1-(n+1)
an-n
=
4an-3n+1-(n+1)
an-n
=
4(an-n)
an-n
=4，（5分）
且b1=a1-1=1∴bn为以1为首项，以4为公比的等比数列，（7分）
（2）由（1）得bn=b1qn-1=4n-1（8分）∵an=bn+n=4n-1+n，（9分）
∴
Sn=(40+41+42++4n-1)+(1+2+3++n)

=
1-4n
1-4
+
n(n+1)
2
=
4n-1
3
+
n(n+1)
2
，（12分）
点评：本题主要考查数列求和和等比关系的确定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等差和等比数列的性质和求和公式，本题难度一般．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设cn=
3
bn•bn+1
，Sn是数列{cn}的前n项和，求使Sn＜
m
20
对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
在数列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．
在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的个位数（n∈N*），若数列{an}的前k项和为2011，则正整数k之值为（　　）
（2012•淮南二模）在数列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）记bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式；
（3）对?k∈N+，是否总?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
在数列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）计算a2，a3；
（Ⅱ）求证：{
an-
1
2
3n
}是等差数列；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn．

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